Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 0 & 2 & 2 - 6 & 42 & 24 & 54 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 2 \\ - 6 & 42 & 24 & 54 \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Étape 1.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 6 & 42 & 24 & 54 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ - 6 & 42 & 24 & 54 \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 6 & 42 & 24 & 54 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ - 6 & 42 & 24 & 54 \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 6 & 42 & 24 & 54 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ - 6 & 42 & 24 & 54 \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 6 + 6 \cdot 1 & 42 + 6 \cdot 0 & 24 + 6 (\frac{2}{3}) & 54 + 6 (\frac{2}{3}) 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 42 + 6 \cdot 0 & 24 + 6 (\frac{2}{3}) & 54 + 6 (\frac{2}{3}) \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 42 & 28 & 58 \\ 21 & - 21 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 21 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 21 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 42 & 28 & 58 \\ 21 - 21 \cdot 1 & - 21 - 21 \cdot 0 & 0 - 21 (\frac{2}{3}) & - 15 - 21 (\frac{2}{3}) \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 42 & 28 & 58 \\ 0 & - 21 & - 14 & - 29 \end{array}]$

Étape 1.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{42}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

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Étape 1.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{1}{42}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{0}{42} & \frac{42}{42} & \frac{28}{42} & \frac{58}{42} \\ 0 & - 21 & - 14 & - 29 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{29}{21} \\ 0 & - 21 & - 14 & - 29 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 21 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

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Étape 1.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 21 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{29}{21} \\ 0 + 21 \cdot 0 & - 21 + 21 \cdot 1 & - 14 + 21 (\frac{2}{3}) & - 29 + 21 (\frac{29}{21}) \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{29}{21} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$